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參考答案及解析
第一章集合與常用邏輯用語
1.1 集合的概念
練習(xí)1集合的概念
1.B【解析】對于A,充分接近√5的所有實數(shù)不能滿足集合元素的確定性，故A不能；對于B，所有的正方形可以構(gòu)成一個集合，故B能；對于C，著名的數(shù)學(xué)家不能滿足集合元素的確定性，故C不能；對于D，元素有重復(fù)，不滿足集合元素的互異性，故D不能.
2.C【解析】由集合的互異性可知， x\neq x^{2}-1,x\neq2 ，且 x2-1≠2，得x≠1±√5， \scriptstyle\mathscr{x}\neq2 ，且 x\neq±{√(3)} ，
3.D【解析】因為集合中的元素必須是互異的，所以三角形的三條邊長兩兩互不相等，故選D.
4.BD【解析】若集合 M 中有兩個元素，則 a^{2}\neq2\ 025a ，即 a\neq0 且 a\neq2\ 025 ，
5.CD【解析】 \because√(5)>1,\therefore√(5)\notin M;\because-2<0<1,\therefore0\in M;1\notin M;*s-2<-(π)/(2)<1,\therefore-(π)/(2)\in M. 綜上,C,D 正確.
6.A 【解析】 \left\{1,a\right\} 與 \{0,a+b\} 是同一集合，\therefore{\Bigl\{}_{a+b=1}^{a=0,},{\stackrel{...}{*s}}{\left\{}_{b=1.}^{a=0,}*s{\dot}^{-a=1.}\right.}}
7.B【解析】依題意，方程 x^{2}+p x+q=0 有相等實根2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知， *\left\{{\begin{array}{l}{{2+2=-p}}\\ {{2x2=q,}}\end{array}}\right. 所以 \scriptstyle{p+q={()/()}} -4+4=0
8.(1) (2)\notin\quad\in 【解析】(1)正整數(shù)是不包含0的自然數(shù)，如 1,2,3,*s ，顯然0和 √(2) 都不屬于 A ，(2)因為 2{√(3)}={√(12)}>{√(11)} ，所以 2{√(3)} 不屬于 B ；因為2{√(2)}={√(8)}<{√(11)} ，所以 2{√(2)} 屬于 B
9.（1)2（2)1【解析】(1)這樣的三角形有2個：腰長分別為6和4.(2)這樣的三角形只有1個，是兩腰長均為6，底邊長為3的等腰三角形.
10. \{-4,0,4\} 【解析】當(dāng) x,y,z 都是正數(shù)時， a=4 ；當(dāng)x,y,z 都是負(fù)數(shù)時， a=-4 ；當(dāng) x,y,z 中有1個是正數(shù)另2個是負(fù)數(shù)或有2個是正數(shù)另1個是負(fù)數(shù)時，a=0 .所以集合 M=\{-4,0,4\} ：
1.A 【解析】由題意,若 a\in A ，則 {(1+a)/(1-a)}\in A
\therefore{(1+{/{1+a)/(1-a)}}{1-{(1+a)/(1-a)}}}=-{(1)/(a)}\in A,
\therefore{(1+\left(-{/{1)/(a)}\right)}{1-\left(-{(1)/(a)}\right)}}{=}{(a-1)/(a+1)}ε A,
\therefore{(1+{/{a-1)/(a+1)}}{1-{(a-1)/(a+1)}}}=a\in A,
綜上，集合 A{=}\left\{a,-{(1)/(a)},{(a-1)/(a+1)},{(1+a)/(1-a)}\right\}
·集合 A 中所有元素的乘積為 style{a*\left(-{(1)/(a)}\right)*{(a-1)/(a+1)}} ：
{(1+a)/(1-a)}=1.
12.A【解析】由題意知 a x^{2}+a x+1=0 只有一個實數(shù)解，當(dāng) a=0 時，方程無實數(shù)解；當(dāng) a\neq0 時，則 \varDelta= a^{2}-4a=0 ，解得 a=4(a=0 不合題意，舍去).
13.CD【解析 12~025{=}4x506{+}1 ，所以 2\ 025\in A_{1} ，故A錯誤；若 a+b\in A_{3} ，則有 a\in A_{1} ， b\in A_{2} 或 a\in A_{2} ， b\in A_{1} 或a\in A_{0} b\in A_{3} 或 a\in A_{3} ， b\in A_{0} ，故B錯誤；-1{=}4x(-1)+3 ，所以 -1\in A_{3} ，故C正確；令 \mathtt{\Gamma}_{a}=4n+k,b=4m+k,m,n\in\mathbf{Z} ，則 \overset{\_}{\underset{\big(}{\boldsymbol{a}}-\overset{\_}=4\big(n-} m)+0,n-m\in\mathbf{Z} 故 a-b\in A_{0} ,故D正確.
14.C【解析】 ① 當(dāng) a+{√(2)}b=1+{√(2)}π 時，可得 a=1,b= π ，這與 \mathbf{\nabla}_{a},b\in\mathbf{Q} 矛盾，故 ① 不屬于；{\mathfrak{Q}}{√(11+6{sqrt{2)}}}={√((3+{sqrt{2)})^{2}}}=3+{√(2)},{\dot{\mathfrak{a}}}_{a}+{√(2)}b= 3+{√(2)} ,可得 a=3,b=1 ,都是有理數(shù)，故 ② 屬于；③(1)/(2+√(2))=(2-√(2))/(2)=1-(√(2))/(2),\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace*\thinspace a+√(2)b=1-(√(2))/(2) 可得a=1,b=-(1)/(2) 都是有理數(shù)，故 ③ 屬于；
9.解:(1)由于2的倒數(shù) (1)/(2) 不在集合 \boldsymbol{\mathscr{A}} 中,故集合 A 不是“可倒數(shù)集”.(2)設(shè)“可倒數(shù)集"為 A ,若 a\in A ,則必有 {(1)/(a)}\in A ,現(xiàn)已知集合 \vert A\vert 中含有3個元素，故必有一個元素有 a= style{(1)/(a)} ，即 a=±1 ，故可以取集合 A=\left\{1,2,(1)/(2)\right\} 或\Big\{-1,2,(1)/(2)\Big\}(\tt d\ddot{x})/(\tt d)\Big\{1,3,(1)/(3)\Big\}(\varkappa\&)/(\tt d).
10.解：(1)大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合 A= \{x\vert1{<}x{<}70,x{\in}\mathbf{N}_{+}\}. (2)因為小于8的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，所以 C=\{2,3,5 ，73 ：(3)方程 2x^{2}-x-3=0 的實數(shù)根為 -1,(3)/(2) ，所以D{=}{\Big\{}-1,{(3)/(2)}{\Big\}}. (4)E{=}\{(x,y)|y{=}{-}2x^{2}{+}x\}. (5)由 2x-3<5 ，得 x{<}4 ，所以 F=\{x|x<4\} ：
11.B【解析】A中一個元素；B中兩個元素，0和1；C，D都有無數(shù)個元素.
12.AC【解析】點（1,2)在函數(shù) y=x^{2}+1 的圖象上，有(1,2)\in B,A 選項正確；集合 A 為數(shù)集，集合 B 為點集， \scriptstyle A\neq B,B 選項錯誤；y=x^{2}+1>=slant1 ，則 A=\{y\vert y\vert>=1\},0\notin A,C 選項正確；集合 B 為點集， \mathsf{2}\notin B,\mathsf{D} 選項錯誤.
13. \{-1,0,2,3\} 【解析】因為 {(2)/(x-1)}\in\mathbf{Z},x\in\mathbf{Z} 所以 x-1=±1 或 x-1=±2 ，解得 x{=}2 或0或 -1 或3，即 \left\{x\bigg\vert(2)/(x-1)\in{\bf z},x\in{\bf z}\right\}=\{-1,0,2,3\}.
14. \{x\vert x{>=slant}2\} 【解析】因為 A=\{x\mid2x+1>0\}= \left\{x\left|x>-{(1)/(2)}\right.\right\},B=\left\{x\left|{(x-2)/(3)}<0\right.\right\}=\left\{x\left|x<2\right.\right\} ，所以 A-B=\left\{x{\Big|}x>-{(1)/(2)}\right. 且 x{>=slant}2\left\}=\{x|x{>=slant}2\right\} ：
15. \left\{m\bigg\vert(4)/(3)<m<=slant(5)/(3)\right. 或 m{=}2\Biggr\} 【解析】因為集合 A= \{x\vert m{<}x{<}3m{-}1\} 中的元素恰有兩個整數(shù)，所以 1{<}3m{-}1{-}m{\ }{<=slant}3 ，解得 1{<}m{<=slant}2 當(dāng) 1{<}m{<}2 時，集合 \boldsymbol{\mathscr{A}} 中的兩個整數(shù)分別為2,3，則 3<3m-1<=slant4 ,解得 舊 (4)/(3)<m<=(5)/(3) 當(dāng) m=2 時 * A=\{x|2{<}x{<}5\} ，此時，集合 A 中元素為整數(shù)的只有3，4，符合題意.
綜上所述，實數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍是 \{m\vert(4)/(3)<m<=slant(5)/(3) 或 m{=}2{\Big?}.
16.17【解析】首先，考慮 {\mathbf{\psi}}_{a,b} 都為偶數(shù)或奇數(shù)的情況，即 \mathbf{\Psi}_{a} a\twoheadrightarrow b=a+b. 我們需要找到所有滿足 a+b=16 的數(shù)對.這些數(shù)對包括 (1,15),(2,14),(3,13),*s, (15，1)，共15個.其次，考慮 \mathbf{α}_{a} 和 b 一奇一偶的情況，即 \mathbf{α}_{a} ※ b=a b=16 ，此時滿足條件的數(shù)對有（1，16），（16，1），共兩個，綜上可知，集合 M 中元素的個數(shù)為17.
17.解：(1)設(shè) m=6k+3=3k+1+3k+2(k\in{\bf Z}), ，令 a=3k+1\left(k\in\mathbf{Z}\right),b=3k+2\left(k\in\mathbf{Z}\right) ，則 m=a+b 故若 m\in M ，則存在 a\in A,b\in B ，使 m=a+b 成立.(2)不一定，證明如下：設(shè) \mathbf{λ}_{a=3k+1,b=3l+2,k,l\in\mathbf{Z}} ，則 a+b=3(k+l)+3,k,l\in\mathbf{Z} 當(dāng) k+l=2p(\boldsymbol{\mathbf{\rho}}_{P}\in\mathbf{Z}) 時， a+b=6p+3\in M 此時存在m\in M ，使 a+b=m 成立；當(dāng) k+l=2p+1(\phi\in\mathbf{Z}) 時， a+b=6p+6\notin M 此時不存在 m\in M ，使 a+b=m 成立.故對于任意 a\in A b\in B ,不一定存在 m\in M ，使 ^{a+} b{=}m ：
1.2 集合間的基本關(guān)系
練習(xí)3集合間的基本關(guān)系
1.D【解析】A,B,C中表示的集合分別為 \left\{0\right\},\left\{x\right\vert x{>}0\},\left\{0\right\} ，.不是空集.又· x^{2}+x+1=0 無實數(shù)解，· \{x\in\mathbf{R}|x^{2}+x+1=0\} 表示空集.
2.B【解析 1A=\{x{\in}\mathbf{Z}|x^{2}{<=slant}2\}=\{-1,0,1\} ，故真子集的個數(shù)為 2^{3}-1=7 ：
3.C【解析】對于A，集合與集合的關(guān)系連接符不能用屬于，故A錯誤；對于B，空集不包含任何元素，故B錯誤；對于C，空集是任何集合的子集，故C正確；對于D √(2) 不是有理數(shù)，故D錯誤.
4.AB【解析】由題設(shè)，易知集合 \boldsymbol{\mathscr{A}} 中有2個元素，故\left\{\begin{array}{l}{\Delta{=}4{-}4a{>}0}\\ {a{\ne}0,}\end{array}\right. ，即 a{<}1 且 a\neq0 ，所以 ^{-2,-1} 符合要求.
5.D【解析 1A=\{x|x^{2}-3x+2{=}0\}=\{1,2\} ，由題圖可知 A\subsetneq B ，所以 a{>}2 ：
6.B【解析】 \left|B={\Big\{}(x,y){\Big|}{(y)/(x)}{=}1{\Big\}}=\{(x,y)|y=x\right. 且 \scriptstyle x\neq0\} ，所以 B{\subsetneq}A
7.\left\{0,{(1)/(3)},-{(1)/(2)}\right\} 【解析 1A=\{-3,2\} ，
當(dāng) m=0 時， B=\varnothing ，有 B{\subseteq}A ，
當(dāng) m\neq0 時，方程 m x+1=0 的解為 \scriptstyle x=-{(1)/(m)}
又 B{\subseteq}A ，\scriptstyle*-{(1)/(m)}=-3 或 *-(1)/(m){=}2,\therefore m{=}(1)/(3) 7 m=-(1)/(2)
故所求集合為 \left\{0,{(1)/(3)},-{(1)/(2)}\right\}
8.解：(1)方法一：集合 B 中的元素都在集合 A 中，但集合 A 中有些元素（比如 0,-0.5) 不在集合 B 中，故 B{\subsetneq}A
方法二：在數(shù)軸上表示出集合 A,B ，如圖所示，由圖可知 B{\subsetneq}A ：
(2)集合 \boldsymbol{\mathscr{A}} 是偶數(shù)集，集合 B 是4的倍數(shù)集，： B{\subsetneq}A ：
(3)B 中， x=a^{2}-4a+5=(a-2)^{2}+1 . \bullet_{a}\in{\bf N}_{+},\bullet\bullet(a-2)^{2} 取 0,1^{2},2^{2},*s ，·： x 的取值為 1,1^{2}+1,2^{2}+1,*s A 中， x 的取值不包含 1,\therefore A\subsetneq B ，
9.解：(1)若 a=2 ，則 A=\{x\in\mathbf{R}\mid2x^{2}-x-1=0\}= \left\{1,-{(1)/(2)}\right\}, 所以集合 A 的所有子集是 \varnothing ， \{\ 1\ \} ， \left\{-{(1)/(2)}\right\} \left\{1,-{(1)/(2)}\right\} (2)當(dāng) a=0 時，方程一 \scriptstyle x-1=0\Rightarrow x=-1 ，符合題意.當(dāng) a\neq0 時，集合 \boldsymbol{\mathscr{A}} 中僅含有一個元素，則 \Delta=1+4a=0 ，解得 a=-{(1)/(4)} ，綜上，實數(shù) \mathbf{\Psi}_{a} 的值為0或 :-(1)/(4)
10.A【解析】由題意得 x=-2\ 025 或 x=-\ {√(2\ 025)} ， 所以集合 \{-2~025,-√(2~025)\} 的真子集有 2^{2}-1= 3(個).
11.D【解析】對于 A,A=\{x\in\mathbf{N}||x|<=slant2\}=\{0,1,2\} ， B{=}\{x{\in}\mathbf{Z}||x|<=slant2\}{=}\{-2{,}{-}1,0,1,2\} ，故 A\neq B ， 所以A錯誤； 對于 B,A=\{(x,y)|y{=}x\} 為點集， B=\{x\mid y=x\} 為 數(shù)集，故 A\neq B ,所以B錯誤；
對于C， A=\{x\mid y=x\}=\mathbf{R} ， B=\left\{x{\bigg|}y{\stackrel{}{=}}{(x^{2})/(x)}\right\}= \{x|x{\neq}0\} ，故 A\neq B ，所以C錯誤；
對于D,數(shù)集 A=\{x\vert x{>}0\} 和數(shù)集 B=\{y\vert y>0\} 元 素一樣，故 A=B ,所以D正確.
12.1【解析】當(dāng) m=0 時， x{=}(1)/(2) ，即 n{=}(1)/(2) 則 2n-m=1 當(dāng) m\neq0 時， .\Delta=4-4m=0 ，解得 m=1 ，此時 x=1 即 n{=}1 ，則 2n-m=1 ，綜上， 2n-m=1
13.解：(1)因為 A\subseteqO ，所以 A=O ，當(dāng) a=0 時，則 A{=}\left\{-{(1)/(2)}\right\} ,與題意矛盾，當(dāng) a\neq0 時，則 \Delta{=}36{-}12a{<}0 ，解得 a>3 ，綜上所述，實數(shù) \scriptstyle a 的取值集合為 \{a\vert a{>}3\} (2)因為 A 的子集有兩個，所以集合 \boldsymbol{\mathscr{A}} 中只有一個元素，當(dāng) a=0 時，則 A{=}\left\{-{(1)/(2)}\right\} ,符合題意，當(dāng) a\neq0 時，則 \Delta{=}36{-}12a{=}0 ，解得 a=3 ，綜上所述，實數(shù) \scriptstyle a 的取值集合為 \{0,3\} ：(3)因為 1\in A ，所以 a+6+3=0 ，解得 a=-9 ，所以 A{=}\{x|-9x^{2}{+}6x{+}3{=}0\}{=}\left\{{-}{(1)/(3)},1\right\}, 當(dāng) b=0 時， B{=}\mathscr{D}\subseteq A ，當(dāng) b{\neq}0 時， \ B=\left\{-{(1)/(b)}\right\} 因為 B{\subseteq}A ，所以 -{(1)/(b)}{=}-{(1)/(3)} 或 \displaystyle{-(1)/(b)=1} 解得 b=3 或 b=-1 ：綜上所述，實數(shù) b 的取值集合為 \left\{0,-1,3\right\} ：
14.A【解析 1A=\left\{n\left\vert{(6-n)/(n)}\in\mathbf{N},n\in\mathbf{N}\right\}=\left\{1,2,3,6\right\}, 非空子集有 2^{4}-1=15 個.當(dāng)子集為單元素集 \{1\},\{2\},\{3\},\{6\} 時，“和睦數(shù)”分別為1，2，3，6，和為12；當(dāng)子集為雙元素集 \left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{1,6\right\},\left\{2,3\right\} \left\{2,6\right\},\left\{3,6\right\} 時，“和睦數(shù)”分別為3，4，7，5，8，9，和為36；當(dāng)子集為三元素集 \{1,2,3\} ，{1,2,6}， \{1,3,6\} ，{2，3，6}時，
“和睦數(shù)”分別為4，7，8，7，和為26；
當(dāng)子集為四元素集 \{1,2,3,6\} 時，“和睦數(shù)”為 6+ 3-2+1=8 ：
故“和睦數(shù)”的總和為 12+36+26+8=82 。
15.196【解析】集合 U 的子集個數(shù)為 2^{8} ,其中是集合 A 或集合 B 的子集個數(shù)為 2^{5}+2^{5}-2^{2} ，所以滿足條 件的集合個數(shù)為 2^{8}-(2^{5}+2^{5}-2^{2})=196 ，
6.7【解析】對于 x^{2}+2\ 024x+2\ 025=0 ，有 \Delta{=}2~024^{2}-4{x}2~025{>}0 ，所以集合 A=\{x\vert x^{2}+2~024x+2~025=0\} 中有兩個元素，即 n(A)=2 ，因為 \left|n(A)-n(B)\right|=1 ，所以 n(B)=1 或3，對于 \left(x^{2}+a x\right)\left(x^{2}+4a x+4\right)=0 ，易知 \scriptstyle x=0 必是方程的一解，當(dāng) n(B)=1 時， \boldsymbol{B}=\left\{0\right\} ，所以 x^{2}+a x=0 有唯一解x=0 ，且 x^{2}+4a x+4=0 無解，則 \left\{\begin{array}{l l}{\Delta_{1}=a^{2}-4x0=0,}\\ {\Delta_{2}=(4a)^{2}-4x4<0,}\end{array}\right. 解得 \scriptstyle a=0 當(dāng) n(B)=3 時，若 x^{2}+a x=0 有唯一解，由上述分析可知 x^{2}+4a x+4=0 無解，不滿足題意；若 x^{2}+a x=0 有兩解，則 x^{2}+4a x+4=0 有唯一解，則 \left\{\begin{array}{l l}{\Delta_{1}=a^{2}-4x0>0,}\\ {\Delta_{2}=(4a)^{2}-4x4=0}\end{array}\right. 解得 a=-1 或1.綜上，實數(shù) \mathbf{α}_{a} 的所有可能取值為一1，0，1，則 M= \{-1,0,1\} ：所以 M 的非空子集的個數(shù)為 2^{3}-1=7 ：
17.\ (1)\left\{{(3)/(5)},{(8)/(17)},{(7)/(13)}\right\} (2)1或-1或 style{(1)/(2)} 【解析】（1)由題可知：
① 當(dāng) \scriptstyle{m=n=3} 時， \scriptstyle* x={(3+3)/(1+3x3)}={(3)/(5)} ②當(dāng)m=n=4 時,x=1+4×4=17;③ 當(dāng) \scriptstyle{m=3,n=4} 或 \scriptstyle{m=4,n=3} 時，\scriptstyle x={(3+4)/(1+3x4)}={(7)/(13)} 專
所以 B{=}\left\{(3)/(5),(8)/(17),(7)/(13)\right\}
(2)① 當(dāng) \scriptstyle{m=n=2} 時， \scriptstyle x={(2+2)/(1+2x2)}={(4)/(5)}
② 當(dāng) m=n=a 時 \scriptstyle* x={(a+a)/(1+a^{2)}}={(2a)/(1+a^{2)}} 中
③ 當(dāng) \scriptstyle{m=2,n=a} 或 \scriptstyle{m=a,n=2} 時， \scriptstyle x={(2+a)/(1+2a)}
由 \boldsymbol{*} 的子集個數(shù)為4,則 B 中有2個元素，
所以 (4)/(5)=(2a)/(1+a^{2)} 或 (2a)/(1+a^{2)}=(2+a)/(1+2a) 2+a或 (2+a)/(1+2a)=(4)/(5) Z解得 a=1 或 a=-1 或 a={(1)/(2)}(a=2 舍去).
1.3 集合的基本運算
練習(xí)4交集與并集
1.C【解析】：集合 A=\left\{x\in\mathbf{N}^{*}\mid x{<=slant}2\right\}=\left\{1,2\right\},B= \left\{2,6\right\},\therefore A\bigcup B=\left\{1,2,6\right\} ：
2.D【解析】 \left|M=\left\{x\mid0{<=slant}x{<}16\right\},N=\left\{x\left|x{>=slant}{(1)/(3)}\right\} ，故 M\cap N={\Bigl\{}x{\Bigr\vert}{(1)/(3)}<=slant x<16{\Bigr\}}.
3.A【解析】由已知當(dāng) x^{2}=0 時， x=0 ，當(dāng) x^{2}=4 時， \ x=±2 ，所以 B=\{-2,0,2\} ，所以 A\cup B=\{-2,-1,0,2,4\} ：
4.A【解析】 \because A\cap B=\{1,3\} ，： a=1,b=3 或 a=3,b=1 ，·： * a+b=4
5.C【解析 \mathbf{l}M{=}\{y\mid y{=}x^{2}+1,x{\in}\mathbf{R}\} 表示 y=x^{2}+1 中 _y 的范圍，即 y{\ge}1,\dot{\ldots}M{=}\{y|y{\ge}1\} ，同理 N=\{y\vert y{<=slant}1\} ,在數(shù)軸上易得 M\cap N=\{1\} ：
6.D【解析】因為 Q\subseteq(P\cap Q) ，所以 P\cap Q=Q ，所以 Q{\stackrel{\_}{\_}}P ，\left\{\begin{array}{l l}{2a+1<3a-5}\\ {2a+1>3,}\\ {3a-5<=slant22,}\end{array}\right. 所以 解得 6{<}a{<=slant}9
7.一43【解析】由題意得 A{\subseteq}C ，又 A\cap B=\emptyset ，： * A{=}\{1,3\} ，\therefore\left\{{1+3=-p}\atop{1x3=q,}\right. ， \begin{array}{c}{{\left\{{\begin{array}{l}{{p=-4,}}\\ {{q=3.}}\end{array}}\right.}}\end{array} 解得
8.{3,5} \{2,3\} 【解析】由題意可知集合 A,B 中都有兩個元素.設(shè) A=\{x_{1},x_{2}\},B=\{x_{3},x_{4}\}, 因為 x_{1}\:,x_{2} 是方程 x^{2}-p x+15=0 的兩根，所以 x_{1}x_{2}=15 ，由已知條件可知 x_{1},x_{2}\in\{2,3,5\} ，所以 x_{1}=3,x_{2}=5 或x_{1}=5,x_{2}=3 ，所以 A=\{3,5\} .因為 x_{3}~,~x_{4} 是方程x^{2}-5x+q=0 的兩根，所以 x_{3}+x_{4}=5 ，由已知條件可知， x_{3},x_{4}\in\{2,3,5\} ，所以 x_{3}=3,x_{4}=2 或 x_{3}=2 ，x_{4}=3 ，所以 B=\{2,3\}
9.解： (1)\because9\in A\cap B,\therefore9\in A 且 {\mathfrak{g}}\in B ，： 2a-1=9 或 a^{2}=9,\therefore a=5 或 a=±3 ，而當(dāng) a=3 時， a-5=1-a=-2 ，故舍去.當(dāng) a=5 或 a=-3 時，符合題意.·： a=5 或 \scriptstyle a=-3
(2） *\left\{9\right\}=A\cap B,\therefore..9\in A\cap B,** a=5 或 \scriptstyle a=-3 而當(dāng) a=5 時 ,A=\left\{-4,9,25\right\},B=\left\{0,-4,9\right\} 此時 A\cap B=\{-4,9\}\neq\{9\} ，故 a=5 舍去.當(dāng) a=-3 時，符合題意， \therefore a=-3 ，
10.A【解析】由題意， 1\in B ，可能 4\in B 且 4\not\in A ，也可能 4\in A 且 4\notin B ，故A正確，B,C,D錯誤.
11.D【解析】 A=\left\{1,a\right\},B=\left\{2,a^{2}\right\} ，且 A\cup B 中恰有三個元素，： a=2 或 a=a^{2} 或 1=a^{2} ”則 a=2 或 a=0 或 a=1 （舍去)或 a=-1 ：則由 \scriptstyle a 的取值組成的集合為 \left\{0,-1,2\right\} ，
12.解：(1)因為 A\cup B{=}A ，所以 B{\subseteq}A 當(dāng) B=\varnothing 時，由 m+1>2m-1 ，得 m{<}2 ，符合題意；\left\{\begin{array}{l l}{2m-1>=slant m+1,}\\ {m+1>=slant-2,}\\ {2m-1<=slant5,}\end{array}\right. 當(dāng) B\neq 時，根據(jù)題意，可得解得 2<=slant m<=slant3 ，綜上，實數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍是 \{m\vert m<=slant3\} ，(2)當(dāng) x\in\mathbf{Z} 時， * A{=}\{-2,-1,0,1,2,3,4,5\} ，共有8個元素，所以 A 的非空真子集的個數(shù)為 2^{8}-2=254 ，(3)當(dāng) B=\varnothing 時，由(1)知 m{<}2 當(dāng) B\neqO 時，\begin{array}{c}{{\left\{2m-1>= m+1,\atop\tt\equiv\tt{\vec{X}}\Big\{2m-1>= m+1}}\right.}}\\ {{\left.\begin{array}{l l}{{2m-1<-2}}&{{\tt\equiv\tt{\vec{X}}\Big\{2m-1>=-1}}}\\ {{m-1<-2}}&{{}}\end{array}\right.}}\end{array} ，可得解得 m{>}4 綜上，實數(shù) \mathbf{λ}_{m} 的取值范圍是 \{m\vert m{<}2 或 m{>}4\} ：
13.A 【解析】 A=\left\{2,4,6\right\} ， B{=}\left\{x\Big|x{=}(k)/(2){-}1,k{\in}A\right\}{=}\left\{0,1,2\right\}, λ{(A)/(B)}=\left\{x\left\vert x{\stackrel{}{=}}{(m)/(n)},m{\in}A,n{\in}B\right.\right\}, \therefore(B)/(A)=\left\{0,(1)/(2),(1)/(4),(1)/(6),1,(1)/(3)\right\}, \therefore(B)/(A)\cup B=\left\{0,(1)/(2),(1)/(4),(1)/(6),1,(1)/(3),2\right\} ，共7個元素.
14.C【解析】 A=\left\{x{\bigg|}x>=-{(9)/(4)},x\in\mathbf{R}\right\},B=\left\{x\mid x<\right. \scriptstyle0,x\in\mathbf{R}\} 根據(jù)定義得 A-B=\{x\vert x{>=slant}0\} ，\begin{array}{l}{{\displaystyle B-A=\Bigl\{x\Big|x<-(9)/(4)\Bigr\},}}\\ {{\displaystyle\ \therefore A\oplus B=\Bigl\{x\Big|x<-(9)/(4)\mathtt{r}\mathtt{s}\mathtt{s}\ge0\Bigr\}.}}\end{array}
15.B 【解析】由題意得 A=\left\{x\bigg|-1<x-(1)/(2)<1\right\}= \left\{x\Big\vert-(1)/(2)<x<(3)/(2)\right\}, B=\left\{x\Big\vert(1)/(x)\{>=slant1\right\}=\{x|0{<}x{<=slant}1\}, 所以 A\cup B=\left\{x\Big\vert-(1)/(2)<x<(3)/(2)\right\}\cup\{x\vert0<x<=slant1\}= \left\{x\Big\vert-(1)/(2)<x<(3)/(2)\right\}, A\cap B=\left\{x{\Biggl|}-{(1)/(2)}<x<{(3)/(2)}{\Biggr\}}\cap\left\{x\mid0<x<=slant1\right\}=\left\{x\mid\right. 0{<}x{<=slant}1\} ， 所以 Ax B=\{x\mid x\in A\cup B 且 x\notin A\cap B\}= \left\{x\Big\vert-(1)/(2)<x<=slant0\right. 或 1<x<(3)/(2)\bigg>
16.解： (1)A_{1}=\varnothing 時， {\bf\nabla}*{\bf A}_{2}=A ，此時只有1種分拆；style A_{1} 為單元素集時，若 \left.A_{1}=\left\{a\right\} ，則 A_{2}=\left\{b\right\} 或 A ；若|A_{1}=\{b\} ，則 A_{2}=\{a\} 或 A ，故分拆種數(shù)為4；當(dāng) A_{1} 為 A 時， A_{2} 可取 A 的任何子集，此時 A_{2} 有4種情況，故分拆種數(shù)為4.故所有的分拆種數(shù)為9.(2)A_{1}=O 時， A_{2}=A ，此時只有1種分拆；A_{1} 為單元素集時， A_{2} 等于 \boldsymbol{\mathscr{A}} 中除去 A_{1} 中單元素以外的元素組成的集合或 A ，此時 A_{1} 有三種情況，故分拆種數(shù)為6；A_{1} 為雙元素集時，例如 A_{1}=\left\{a,b\right\},A_{2}=\left\{c\right\},\left\{a,c\right\} ，\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c\right\},A_{1} 有三種情況，分拆種數(shù)為12；當(dāng) style A_{1} 為 A 時， {.A_{2}} 可取 A 的任何子集，此時 A_{2} 有8種情況，故分拆種數(shù)為8.總之，所有的分拆種數(shù)為27.(3)集合 A=\{a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n}\} 的不同分拆種數(shù)為 3^{n} ：
練習(xí)5全集、補集及綜合運用
1. A
2.A【解析】由題知 M=\left\{2,4,5\right\} ，對比選項知，A正確,B,C,D錯誤.
3.D【解析】因為集合 U=\{x\in\mathbf{N}|x<=slant4\}=\{0,1,2,3 ，\left|4\right> ，集合 A=\{2,3,4\} \{,B{=}\{x|x{+}1{\in}A\}{=}\{1,2,3\} ，故 A\cap B=\{3,2\} ，所以 \complement_{U}(A\cap B)=\{0,1,4\} ：
4.C【解析】由圖形知，陰影部分表示的集合是 M\cap P 與 \complement_{U}S 的交集.
5.A【解析】因為 N\bigcap{(~}\complement_{\mathit{1}}M)=\emptyset,N,M 不相等，所以N{\mathop{\subseteq}}M( （如圖），所以 M\cup N{=}M
6.D【解析 ]\because A\cup(\complement_{U}A)=U,\therefore|a-5|=3 ，解得 a= 2或 \scriptstyle a=8 ，
7.C【解析】因為集合 A=\{1,2\ 025,a^{2}\} ， B=\ \vdots \{2\ 025,2a+3\} ，又 \complement_{A}B=\{1\} ，所以 a^{2}=2a+3 ，解得 a=3 或 a=-1 當(dāng) a=-1 時， a^{2}=1 ，集合 A 互異性不成立，舍去；當(dāng) a=3 時， A=\{1,2~025,9\},B=\{2~025,9\} ，符合題意.所以 \scriptstyle a=3
8. \{0,1,3,4,5\} 【解析】 S=\{x{\in}\mathbf{N}|x{<}6\}=\{0,1,2 ，3,4,5\},\therefore\complement_{s}A=\{0,4,5\},\complement_{s}B=\{0,1,3\} \therefore(\upint_{s}A)\bigcup(\upint_{s}B)=\{0,1,3,4,5\}. ：
C \{a\vert a>=slant(9)/(8) 或 \scriptstyle a=0\left.{\begin{array}{l}{}\\ {}\end{array}}\right\} 【解析】假設(shè)集合 \boldsymbol{\mathscr{A}} 中含有2個元素，即 a x^{2}+3x+2=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則\left\{\begin{array}{l}{{a\neq0,}}\\ {{\Delta=9-8a>0}}\end{array}\right. 解得 <且α=0,則此時實數(shù)α的
取值范圍是 \left\{a\bigg\vert a<(9)/(8)\right. 且 a{\neq}0\} .在全集 U=\mathbf{R} 中，集\left\{a\bigg\vert a<(9)/(8)\right. 且 a{\neq}0\} 的補集是 \left\{a\bigg\vert a>=(9)/(8)\right. 或α=0}.所以滿足題意的實數(shù) \scriptstyle a 的取值范圍是\left\{a\bigg\vert a>=(9)/(8)\right. 或 a=0\bigg\}
10.解：(1)因為 M=\left\{x\in\mathbf{Z}\vert0{<=slant}x{<}3\right\}=\left\{0,1,2\right\},N= \{x|x^{2}-x-2=0\}=\{-1,2\} ，所以 M\cap N=\{2\} ：(2)由(1)知， \boldsymbol{{M}}\bigcup\boldsymbol{{N}}=\{-1,0,1,2\} ，所以 \complement_{U}(M\cup N)=\{-4,4\} (3)由(1)知， \complement_{U}M=\{-4,-1,4\} ，\complement_{U}N=\{-4,0,1,4\} ，所以 (sf{f}_{U}M)\bigcup\left(sf{f}_{U}N\right)=\{-4,-1,4\} U{—4,0,1,4\}=\{-4,-1,0,1,4\}
11.C【解析】全集 U{=\{1,2,3,4,5\},S}{=}U,T{\equiv}U,S\cap T=\{2\},(\complement,S)\cap T=\{4\},(\complement,S)\cap(\complement,_{v}T)=\{1, 15},作出Venn圖如下：
所以 3\in S\cap(\complement_{U}T) ，
12.解：(1)因為 U=\{x{\in}\mathbf{N}|0{<}x{<}5\}=\{1,2,3,4\} ，B{=}\{x|x^{2}{-}5x{+}4{=}0\}{=}\{1,4\} ，因此， \complement_{U}B=\{2,3\} ：若 a^{2}+1\in\complement_{U}B ，則 a^{2}+1=2 或 a^{2}+1=3 ，解得 a=±1 或 a=±{√(2)} ：又 a\in U ，所以 a=1 ：(2)因為 A=\{1,2,m^{2}\} ， \complement_{U}B=\{2,3\} ，當(dāng) m^{2}\neq3 時， C=\{2\} ，此時集合 c 共有1個真子集，不符合題意；當(dāng) m^{2}=3 時， C=\left\{2,3\right\} ，此時集合 c 共有3個真子集，符合題意.綜上所述， m=±{√(3)} ：
13.D【解析】如圖，設(shè)同時使用3個工具的人數(shù)為 \mathbf{\Psi}_{x} ，則 13-x+11-x+12-x+2+4+4+x=30, 解得 x=8 ，即同時使用3個工具的人數(shù)為8.
14. \{a\mid a<=slant-1\} 【解析】由 3\notin P ，可知 3\in\ {\mathbb{I}}_{\mathfrak{k}}P. 因為\complement_{\mathbf{k}}P=\{x\mid a x+2{<=slant}a\} ，所以 a<=slant-1 ，
15.解：設(shè)全集 U{=}\{m|\Delta{=}4(m{-}3)^{2}{-}4(3m{-}5){>=slant}0\}{=} \{m\vert m<=slant2 或 m>=7\} ：若方程 x^{2}-2(m-3)x+3m-5=0 的兩根均為非(m\in U ，正，則 \left\{x_{1}+x_{2}=2(m-3)<=slant0\right. ，解得 (5)/(3)<= m<=2 ，\lfloor_{x_{1},x_{2}}=3m-5>=slant0 ，因為集合 \left\{\begin{array}{l}{m}\end{array}\right|{(5)/(3)}{<=slant}m{<=slant}2\ \left\} 在 U 中的補集為\{m\vert m<(5)/(3) 或 m>=7\} ,所以所求實數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值集合為 \left\{m\right\vert m<(5)/(3) 或 m>=7\}
16.B【解析】對于 ① ，由 J\ (S_{^2},S_{4})=1-{(\left|S_{^2}\bigcap S_{4}\right|)/(\left|S_{2)\bigcup S_{4}\right|}}= 1,得 \mid S_{2}\cap S_{4}\mid=0 ，所以 S_{2}\cap S_{4}=\emptyset ，又由 S_{2}=\left\{\begin{array}{l l}{\begin{array}{r l r}\end{array}}\end{array}\right. 地理，物理，化學(xué)），得 S_{4}=\left\{\begin{array}{r l r}\end{array}\right. 思想政治，歷史，生物》，所以 ① 正確；對于 ② ，由 J~(S_{1},S_{2})=J~(S_{1},S_{4}) ，得 {(|S_{1}\bigcap S_{2}|)/(|S_{1)\bigcup S_{2}|}}= {(\mid S_{1}\bigcap S_{4}\mid)/(\mid S_{1)\bigcup S_{4}\mid}}={(2)/(4)}={(1)/(2)}, 所以 2\vert S_{1}\bigcap S_{4}\vert=\vert S_{1}\bigcup S_{4}\vert ，所以 \mid S_{1}\cup S_{4} 必為偶數(shù)，又 3{<=slant}|S_{1}\cup S_{4}|{<=slant}6 ，
當(dāng) \vert S_{1}\cup S_{4}\vert=6 時 ,|S_{1}\bigcap S_{4}|=|\emptyset|=0 ，
不符合 2|S_{1}\cap S_{4}|=|S_{1}\cup S_{4}| ，
所以 \mid S_{1}\cup S_{4}\mid=4 且 \mid S_{1}\cap S_{4}\mid=2 ，此時 S_{4} 情況較多，比如 \begin{array}{r}{S_{4}=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.}\end{array} 物理，地理，生物 \} ，所以 ② 錯誤；
對于 ③ ，若 S_{4}=\left\{\begin{array}{l l}{\begin{array}{r l r}\end{array}}\end{array}\right. 思想政治，物理，生物》，
則 J\left(S_{1},S_{4}\right)=1-(2)/(4)=(1)/(2),J\left(S_{2},S_{4}\right)=1-(1)/(5)=(4)/(5), J\left(S_{3},S_{4}\right)=1-(1)/(5)=(4)/(5),
所以 J\ (S_{1},S_{4})<J\ (S_{2},S_{4})=J\ (S_{3},S_{4}) ，所以 ③ 正確；
對于 ④ ，當(dāng) S_{4}=\left\{\begin{array}{l l}{\begin{array}{r l r}\end{array}}\end{array}\right. 物理，地理，歷史時，
\begin{array}{l}{{J\left(S_{1},S_{4}\right)=1-\displaystyle(1)/(5)=(4)/(5),~J\left(S_{2},S_{4}\right)=1-(2)/(4)=(1)/(2),~}}\\ {{\displaystyle\vphantom{(J^{2})/(J^{2)}}J\left(S_{3},S_{4}\right)=1-(2)/(4)=(1)/(2),~}}\end{array} 滿足 J\ (S_{1},S_{4})>J\ (S_{2},S_{4})=J\ (S_{3},S_{4}) ，但不是S_{4}=\left\{\begin{array}{l l}{\begin{array}{r l r}\end{array}}\end{array}\right. 思想政治，地理，化學(xué)），所以 ④ 錯誤.
1.4 充分條件與必要條件
練習(xí)6充分條件與必要條件
1.B【解析】 a=b{\Rightarrow}a c=b c,\therefore*s a=b^{\prime} ”是“ \scriptstyle{\dot{a}c=b c} ”的充分條件，“ \scriptstyle{*_{a c}=b c} ”是“ \scriptstyle{\dot{a}}=b ”的必要條件.
2.A【解析】由 A\subseteq B 得， a=2 或3，選A.
3.D【解析 \scriptstyle1a>b\Rightarrow a>b-1 選D.
4.A【解析】因為甲是乙的必要條件，所以乙 \Rightarrow 甲.又因為丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，所以丙 \Rightarrow Z ，但乙 \nRightarrow 丙，如圖.綜上，有丙 \Rightarrow 甲，但甲 \nRightarrow 丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.
5.D【解析】 ① 由于“ \dot{}_{m} 是自然數(shù) \boldsymbol{\Pi}\Rightarrow\boldsymbol{\hat{\Pi}}\boldsymbol{m} 是整數(shù)”，因此*_{m} 是自然數(shù)”是“ ~;~_{m} 是整數(shù)”的充分條件；② 由三角形全等可推出這兩個三角形對應(yīng)角相等，所以“兩個三角形對應(yīng)角相等”是“這兩個三角形全等”的必要條件；③ 由 (a+b)*(a-b)=0 ，得 |a|=|b| ，推不出 a=b ，由 a=b ，能推出 \left|a\right|=\left|b\right| ，故“ (a+b)*(a-b)=0^{!} "是\scriptstyle*_{a}=b ”的必要條件.所以 ①②③ 都正確.
6.AC【解析】因為“ x>3^{\mathfrak{s p}}\Rightarrow^{\mathfrak{s}}x>2^{\mathfrak{s}} ”，所以“ x>2 ”是*_{x>3} "的必要條件，故A是真命題.因為“ x=2^{\prime\prime}\Rightarrow （ \dot{x}^{2}=4 ”，而“ \dot{x}^{2}=4 ”不能推出“ x=2 ”，所以“ x=2 ”不是“ x^{2}=4 ”的必要條件，故B是假命題.因為“ \ {~*~}A\cap B= B^{\prime\prime}{\Rightarrow}^{**}A\cup B{=}A^{\prime} ”，所以“ \operatorname{.A}\cup B=A ”是“ A\cap B=B ”的必要條件，故C是真命題.因為 a c>b c c<0 時， a< b,q 不能推出 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} ，所以 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 不是 q 的必要條件，故D是假命題.
7.必要充分
8. ② 【解析】由 x y=0 ，則 \scriptstyle x=0 或 y=0 ，則 ② 不正確.
9.解 :(1):\because=2x+1\Rightarrow x=√(2x+1),x=√(2x+1)\Rightarrow x^{2}=2x+1,\therefore p 是 q 的必要條件. (2)\leftrightarrow a\prime+b^{2}=0\Rightarrow a=b=0\Rightarrow a+b=0,a+b=0\Rightarrow a^{2}+b^{2}=0,\dot{*}*\boldsymbol{\rho} 是 q 的充分條件. (3)\stackrel{\bullet*}{*}(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=0{\Rightarrow}x=1 且 y{=}2{\Rightarrow}(x{-}1) · (y-2)=0 ，而 \left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\Rightarrow\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right) 2)^{2}=0,\dot{*s}p 是 q 的充分條件.
10.B【解析】當(dāng) \scriptstyle x=1,y=1 時，A不符合題意；當(dāng) x= -2,y=-3 時，C,D不符合題意.
11.充分必要【解析】由題意得， k{>}4,b{<}5,p{\Rightarrow}q
12.解：由題意知， m+1<=slant2m-1 ，即 m>=slant2 ，要使 B{\subseteq}A 成立，則有 m+1>=slant-2 ，且 2m-1<=slant5 ，解得一 3<=slant m{<=slant}3 ，即 2<=slant m<=slant3 .所以實數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍為 \{m\:| 2<=slant m<=slant3\} ：
13.解：(1)存在， m>=slant2 ·欲使“ 2x+m<0^{,} 是“ x<-1 或x{>}3 ”的充分條件，則只要 \Bigl\{x\Bigl\vert x<-(m)/(2)\Bigr\}\subseteq\{x\mid x< -1 或 \scriptstyle x>3\} ,即只需 -(m)/(2){<=slant}-1 即 m>=slant2 故存在實數(shù) m>=slant2 ，使“ 2x+m<0 ”是“ x{<}-1 或 x{>}3 ”的充分條件.(2)不存在，理由如下：欲使“ 2x+m<0 ”是“ x<-1 或 x{>}3 ”的必要條件，則只要 \{x\vert x<-1 或 r{>}3\}\subseteq \{x\vert x<-{(m)/(2)}\} ,這是不可能的.故不存在實數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} ，使2x+m<0 ”是“ \scriptstyle*<-1 或 x{>}3 ”的必要條件.
14.解：(1)當(dāng) m{=}(7)/(2) 時， .B{=}\left\{x\bigg|(9)/(2){<=slant}x{<=slant}6\right\} 且 \scriptstyle{\complement_{\mathbf{k}}A=\{x\mid x<-2}} 或 x{>}5\} ”\therefore(\int_{\mathbb{R}}A)\bigcap B=\{x\mid5{\mathord{\leftarrow}}x{<=slant}6\}. (2)命題 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} ： x\in A ，命題 q:x\in B,{\mathfrak{p}} 是 q 的必要條件，\left\{{\begin{array}{l}{m+1<=slant2m-1}\\ {m+1>=slant-2,}\\ {2m-1<=slant5,}\end{array}}\right. ： B{\subseteq}A ,可得 m+1>2m-1 或解得 m{<=slant}3 ，實數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍為 \{m\vert m<=slant3\} ：
15.A【解析】對于A，燈泡L亮，不一定是S閉合，當(dāng)S閉合時，必有燈泡L亮，故 \mathbf{\Psi}_{P} 是 q 的必要不充分條件,A正確；對于B,由于S和L是串聯(lián)關(guān)系，故燈泡L亮，必有S閉合，S閉合，燈泡L亮，即 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 是 q 的充要條件,B錯誤；對于C，燈泡L亮，則開關(guān) S_{1} 和S必都閉合，當(dāng)開關(guān)S閉合 S_{1} 打開時，燈泡L不亮，故 \mathbf{\sigma}_{P} 是 q 的充分不必要條件，C錯誤；對于D，“燈泡L亮”與“開關(guān)S閉合”無關(guān)系，故 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 是q 的既不充分又不必要條件，D錯誤.
16.C【解析 1A=\left\{x\left|(x-2)/(x+1)<=slant0\right.\right\}=\left\{x\left|-1<x<=slant2\right.\right\}, ： x\in A 的一個必要條件是 x{>=slant}a ，·： \{x|-1<x<=slant2\}\subseteq\{x|x>=slant a\},/ a<=slant-1, 實數(shù) \mathbf{\Psi}_{a} 的取值范圍為 \{a\vert a<=slant-1\} ：
17.C【解析】甲每秒跑2.5米，乙每秒跑3.5米，則乙每秒比甲每秒多跑1米，當(dāng)甲、乙都跑了200秒時，乙比甲多跑了200米，甲、乙第一次相遇，當(dāng)甲、乙都跑了400秒時，乙比甲多跑了400米，甲、乙再次相遇.故“甲、乙相遇”是“甲、乙都跑了400秒”的必要不充分條件.
練習(xí)7充要條件
1.A【解析】因為方程 x^{2}+x+m=0 有實數(shù)根，所以\Delta{=}1{-}4m{>=slant}0{\Rightarrow}m{<=slant}{(1)/(4)} 所以 m{<}(1)/(4) ”是“關(guān)于 \mathbf{\Psi}_{x} 的方程 x^{2}+x+m=0(m\in\mathbf{R}) 有實數(shù)根”的充分不必要條件.
2.B【解析】當(dāng)四邊形ABCD為菱形時，必有對角線互相垂直，即 A C\perp B D .當(dāng)四邊形ABCD中 A C\bot B D 時，四邊形 A B C D 不一定是菱形.綜上知， {}^{\mathfrak{a}}A C\perp B D^{{\scriptscriptstyle4}} ，是“四邊形 A B C D 為菱形”的必要不充分條件.
3.A【解析】由 x^{2}-2x+1\neq0 ，解得 \scriptstyle x\neq1 ，所以“ _{x\neq1} ”是“ x^{2}-2x+1\neq0^{:} ”的充要條件.
4.B【解析】當(dāng) \scriptstyle a=5,b=4,c=3 時，易知 \triangle A B C 是直角三角形，但 a^{2}+b^{2}\neq c^{2} ，所以充分性不滿足；根據(jù)勾股定理的逆定理，由 a^{2}+b^{2}=c^{2} ，得 \triangle A B C 是直角三角形，所以必要性可證.
5.B 【解析】當(dāng) \begin{array}{c}{{\left\{\begin{array}{l l}{{x>2,}}\\ {{y>2}}\end{array}\right.}}\end{array} 時，有 x+y>4,x y>4 ，所以 q{\Rightarrow}p ：反之不一定成立，例如，當(dāng) x=5,y=1 時，滿足 x+ y{>}4,x y{>}4 ，但不滿足條件 y{>}2 ，所以不滿足充分性，即 \boldsymbol{\mathscr{p}} 是 q 的必要不充分條件.
6.A【解析】由 m n+1=m+n ，得 (m-1 ） (n-1)=0 ，解得 m=1 或 n{=}1 ，顯然“ m=1 ”可以推出“ *_{m}=1 或 n{=}1^{\prime\prime} ，“ \dot{\boldsymbol{m}}=1 或 n= 1"不可以推出“ *_{m}=1^{\mathfrak{n}} ，所以“ *_{m}=1 ”是‘ m n+1=m+n "的充分不必要條件.
7.B【解析】由 A\cap B=\{4\} ，則 4\in A ， 所以 a^{2}=4 ，解得 a=±2 ，故充分性不滿足； 當(dāng) a=2 時 * A{=\{1,4,-2\},B{=\{2,4\}}} ， 所以 A\cap B=\{4\} ，必要性滿足， 故‘ * A\cap B=\{4\} ”是“ a=2 ”的必要不充分條件.
8.D【解析】一次函數(shù) y=-{(m)/(n)}x+{(1)/(n)} 的圖象同時經(jīng)過第一、二、四象限，所以 -(m)/(n)<0 m<0,且 (1)/(n)>0 ,解得 m{>}0 ，n{>}0 .故由“一次函數(shù) y=-{(m)/(n)}x+{(1)/(n)} 一的圖象同時經(jīng)過第一、二、四象限"可以推出“ m n{>}0^{*} .而由 m n{>}0 不一定能得到一次函數(shù) y=-{(m)/(n)}x+{(1)/(n)} -x十一的圖象同時經(jīng)過第一、二、四象限,所以“ m n>0 ”是“一次函數(shù) y= -"x+一的圖象同時經(jīng)過第一、二、四象限”的必要不充分條件.
9.(1) ①② (2） ③ (3){\mathbb{1}} 【解析】 |{①}a b=0{\Leftrightarrow}a=0 或b=0 ，即 {\bf\Pi}_{a,b} 至少有一個為0，所以是“ {\bf\Pi}_{a,b} 都為0”的必要條件，也是“ _{a,b} 至少有一個為0”的充要條件；②a+b=0{\Longleftrightarrow}a,b 互為相反數(shù)，則 {\mathbf{\psi}}_{a,b} 可能均為0，也可能為一正一負(fù)，所以是“ _{(a,b} 都為0"的必要條件；\left.\odot\right._{a b>0\Longleftrightarrow}\{_{b>0}^{a>0}, 1 \begin{array}{r}{\left\{\begin{array}{l l}{a<0,}\\ {b<0,}\end{array}\right.}\end{array} 或 則 {\mathbf{\psi}}_{a},{\mathbf{\psi}}_ 都不為0,所以是（ _{;a,b} 都不為0"的充分條件.
10.證明：(1)先證充分性：若 A=B ，則 a=b ，： * a^{2}-b^{2}-a c+b c=0 成立；(2)再證必要性：若 a^{2}-b^{2}-a c+b c=0 成立，\because a^{2}-b^{2}-a c+b c=(a+b)\bullet(a-b)-c(a-b)= (a-b)(a+b-c) ，\therefore(a-b)(a+b-c)=0, 又 \triangle A B C 中 * a+b-c>0 ，\therefore a-b=0,\therefore a=b,\therefore A=B. 綜上可知， a^{2}-b^{2}-a c+b c=0 的充要條件是 A=B ，
11.D【解析】當(dāng) x+y\neq9 時，取 x=3,y=7 ，得不到*_{x\neq3} 且 y\ne6^{,9} ，
故“ \ x+y\neq9 ”不是“ \scriptstyle x\neq3 且 y\ne6 ”的充分條件，
當(dāng) x\neq3 且 y\ne6 時，取 x=1 ， y=8 ，得不到 x+ y\ne9 ，
故“ *_{x+y\neq9} ”不是“ \scriptstyle x\neq3 且 y\ne6 ”的必要條件，
故“ *_{x+y\neq9} ”是“ x\neq3 且 y\neq6 ”的既不充分也不必要條件.
12.A【解析】由 a^{2}+b^{2}=2(a+b-1) ，得 (a-1)^{2}+(b-1)^{2}=0 ，所以 a=1 且 b=1 ，則 a b=1 ，充分性成立；由 a b{=}1 ，不妨取 a=2,b=(1)/(2) a^{2}+b^{2}={(17)/(4)},2(a+b-1)=3, 顯然 a^{2}+b^{2}\neq2(a+b-1) ，必要性不成立，所以“ \dot{a}^{2}+b^{2}=2 e (a+b-1) ”是“ a b=1 ”的充分不必要條件.
13.證明：充分性：因為 m>=slant2 ，所以 \Delta=m^{2}-4>=0 ，所以方程 x^{2}+m x+1=0 有實根，設(shè)兩根為 x_{1},x_{2} ，由根與系數(shù)的關(guān)系知， x_{1}* x_{2}=1{>}0 ，所以 x_{1},x_{2} 同號.又 x_{1}+x_{2}=-m{<=slant}-2<0 ，所以 x_{1},x_{2} 同為負(fù)數(shù).即x^{2}+m x+1=0 有兩個負(fù)實根.必要性：因為 x^{2}+m x+1=0 有兩個負(fù)實根，設(shè)為x_{1},x_{2} ，則 x_{1}x_{2}=1 ，\left\{\begin{array}{l}{{\Delta=m^{2}-4>=0,}}\\ {{x_{1}+x_{2}=-m<0}}\end{array}\right. [m≥2或 m{<=slant}-2 ，所以 即,"(m>0,所以 m>=slant2 ，所以關(guān)于 \mathbf{\Psi}_{x} 的方程 x^{2}+m x+1=0 有兩個負(fù)實根的充要條件是 m>=slant2 ，
14.C【解析】充分性：當(dāng) a=0,b=1 或 a=1,b=0 時，a b=0 ，則 a\otimes b=a+b=1 ，充分性成立；必要性：當(dāng) a\otimes b=1 時，顯然當(dāng) a b>0 時， a\otimes b<0 ，當(dāng) a b<0 時， a\otimes b<0 ,均不符合題意，當(dāng) a=0 時， a\otimes b=1 ，則 b=1 ，當(dāng) b=0 時， a\otimes b=1 ，則 a=1 ,必要性成立.所以“ \stackrel{*}{a}=0,b=1 或 a=1,b=0 ”是“ a\otimes b=1 "的充要條件.
15.D【解析】由方程 [x]^{2}-[x]=0 ，可得 [x]=0 或[x]=1 ，得 \scriptstyle0<=slant x<2 ，故 [x]^{2}-[x]=0 成立的一個充分不必要條件是 0< x{<}2 ，
16.C【解析】當(dāng) \varphi(a,b)=0 時，即 {√(a^{2)+b^{2}}}=a+b ，所以 a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2} ，即 a b=0 ，又 a+b>=slant0 ，得到 a=0,b>=slant0 或 b{=}0,a{>=slant}0 ，此時 ^{a>=slant}
^{0,b>=slant0} ，且 a b=0 ，所以 \scriptstyle a 與 b 互補.
當(dāng) \mathbf{α}_{a} 與 b 互補時， a>=slant0,b>=slant0 ，且 a b=0 ，
所以 \varphi(a,b)=√(a^{2)+b^{2}}-a-b=√((a+b)^{2)}-a- b{=}a{+}b{-}a{-}b{=}0.
因此 \varphi(a,b)=0 是 \mathbf{α}_{a} 與 b 互補的充要條件.
7.證明：必要性：設(shè)方程 \scriptstyle x^{2}+2a x+b^{2}=0 與 x^{2}+2c x- b^{2}=0 有公共實數(shù)根 x_{0} ，則 x_{0}^{2}+2a x_{0}+b^{2}=0,x_{0}^{2}+ 2c x_{0}-b^{2}=0 ，兩式相減并整理，得 (a-c)\boldsymbol{x}_{0}+b^{2}=0 ，\because b\neq0,\therefore a-c\neq0,\therefore x_{0}=(b^{2})/(c-a), 將此式代人 x_{0}^{2}+2a x_{0}+b^{2}=0 中，可得 b^{2}+c^{2}=a^{2} ，故 \angle A=90° ,必要性成立.充分性： \because\angle A=90°,\therefore b^{2}+c^{2}=a^{2} ，\therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}*① 將 ① 代人方程 x^{2}+2a x+b^{2}=0 中，可得 x^{2}+2a x+ a^{2}-c^{2}=0 ，即 \begin{array}{r}{\left(x+a-c\right)\left(x+a+c\right)=0.}\end{array} 將 ① 代人方程 x^{2}+2c x-b^{2}=0 中，可得 x^{2}+2c x+ c^{2}-a^{2}=0 ，即 \begin{array}{r}{\left(x+c-a\right)\left(x+c+a\right)=0.}\end{array} 故兩方程有公共實數(shù)根 x=-(a+c) ，充分性成立.·關(guān)于 x 的方程 \scriptstyle x^{2}+2a x+b^{2}=0 與 x^{2}+2c x-b^{2}= 0有公共實數(shù)根的充要條件是 \angle A=90° ：
1.5 全稱量詞與存在量詞
練習(xí)8全稱量詞與存在量詞
1.D【解析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故排除A；由命題的否定要否定結(jié)論，可排除C；由存在量詞“3”應(yīng)改為全稱量詞“V”，可排除B.
2.A【解析 \mathbf{l}\neg\mathbf{\Pi}\phi:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}<=slant0 ，因為當(dāng) x{=}0 時， x^{2}= 0，所以 \lnot p 是真命題.3.B【解析】 \boldsymbol{\mathscr{p}} 為假命題，. \lnot\ _{p} 為真命題，即 \forall x> 0,x+a-1\neq0 為真命題， \therefore1-a<=slant0,\therefore a>=slant1 ，
4.AC【解析】若 \mathbf{\sigma}_{P} b:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x+2-a=0 為真命題，則判別式 \Delta>=slant0 ，即 4-4(2-a)>=0 ，解得 a{>=slant}1 ，故選AC.
5.AB【解析】對于A，因為 x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}>=slant0 對 \forall\:x\in\mathbf{R} 都成立，所以王 x\in\mathbf{R},x^{2}-2x+1<0 是存在量詞命題，且為假命題；對于B，因為所有的矩形都是平行四邊形，所以有的矩形不是平行四邊形是存在量詞命題，且為假命題；對于C，因為 x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0 ，所以 \exists x\in \scriptstyle\mathbf{R},x^{2}+2x+2>=0 是真命題；
對于D，因為V x\in\mathbf{R},x^{3}+3\neq0 是全稱量詞命題，所以選項D不滿足條件.
6.B【解析】因為 P\cap Q=P ，所以 P{\subseteq}Q ，所以 \forall x\notin Q ，有 x\notin P ，
7. \{a|a<=slant4\} 【解析】 \mid\forall\ x\in\mathbf{R},x^{2}-4x+a\neq0 為假命題，則 \exists x\in\mathbf{R},x^{2}-4x+a=0 即為真命題.·： *\Delta{=}16{-}4a{>=}0,{\therefore}a{<=slant}4
8.3【解析】因為“ \forall x\in\{x|-1<=slant x<=slant2\},x^{2}-m<=slant1^{,} 為真命題，所以 m>=slant x^{2}-1 對 x\in\{x\mid-1<=slant x<=slant2\} 恒成立，即 m{>=slant}(x^{2}-1)_{max}=3 ：
9.解：（1)“所有二次函數(shù)的圖象都開口向上”是全稱量詞命題，其否定為“有些二次函數(shù)的圖象不是開口向上”，是真命題.(2)“存在 x\in\mathbf{Q},x^{2}=5 ”是存在量詞命題，其否定為“任意 x\in\mathbf{Q},x^{2}\neq5 ”，是真命題.(3)“不論 \mathbf{\Psi}_{m} 取何實數(shù)，方程 x^{2}+2x-m=0 都有實數(shù)根”是全稱量詞命題，其否定為“存在實數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} ，使得方程 x^{2}+2x-m=0 沒有實數(shù)根”，是真命題.
10.解：因為 x^{2}-2x+a=(x-1)^{2}+a-1 ，若 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 是真命題，則 \scriptstyle a-1>=0 ，即 a{>=slant}1 .因為 x^{2}+x+2a-1=0 ，若q 為假命題，則 \Delta=1-4x(2a-1)=5-8a<0 ，即a>(5)/(8) ，綜上， a{>=slant}1 所以實數(shù) \mathbf{\Psi}_{a} 的取值范圍是 \{a\vert a>=slant \left.1\right\} .
11.B【解析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將存在量詞改為全稱量詞，并否定結(jié)論，故命題 \lnot p 為 \forall x,y>0,x^{2}+y^{2}\neq x y 或 \scriptstyle x=y
12.C【解析】集合 M,N 滿足 M\cap N\neq\emptyset ，由交集定義得三 \mid x\in M,x\in N ，
13.解：(1)由 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 為假命題，得 \lnot p 為真命題，即 x\in\{x\} 1<=slant x<=slant2\},x^{2}+x-a<0 ，即 a>x^{2}+x 在 x\in\{x\vert1<=slant \scriptstyle x<=slant2\} 時有解，所以 a>(\boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{x})_{{min}} ， x\in\{x\mid1<=slant x<=slant 2}，易知當(dāng) x=1 時， (x^{2}+x)_{min}=2 ，所以 a{>}2 ，即實數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍為 \{a\vert a{>}2\} .(2)由(1)可知，當(dāng) \boldsymbol{\mathscr{p}} 為真命題時， a{<=slant}2 ；當(dāng) \boldsymbol{\mathscr{p}} 為假命題時， a{>}2 ，當(dāng) q 為真命題時，方程 x^{2}+3x+2-a=0 在 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} 上有解 ,\Delta=9-4(2-a)>=0 ,解得 a>=slant-{(1)/(4)} 當(dāng) q 為假命題時，a<-1.所以當(dāng)p為真命題,q為假命題時,a<-； ;當(dāng)為假命題， q 為真命題時， a{>}2 ，
所以當(dāng) \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 和 q 中有且只有一個是真命題時， a 的取值范圍是 \left\{a\bigg\vert a<-(1)/(4)\right. 或 a{>}2\left\{\begin{array}{l l}{\begin{array}{r l r}\end{array}}\end{array}\right.
14.解：假設(shè)存在整數(shù) \mathbf{\psi}_{m} ，使得命題“ \forall x>=slant-{(1)/(4)},-5< 3-4m<x+1 "是真命題.因為當(dāng) x{>=slant}-{(1)/(4)} 時， x+1>=(3)/(4) 所以 -5<3-4m<(3)/(4) ,解得 (9)/(16)<m<2 又 \mid m 為整數(shù)，所以 m=1 ，故存在整數(shù) m=1 ，使得命題“ \forall x>=slant-{(1)/(4)},-5<3- 4m{<}x{+}1 "是真命題.
15.B【解析】因為 \complement_{\mathbb{R}}Q\subsetneq\complement_{\mathbb{R}}P ，所以 P{\subsetneq}Q ，如圖，對于A，由題意知 P 是 Q 的真子集，故 \exists{}_{{\boldsymbol{x}}}\in Q,{\boldsymbol{x}}\notin P ，故A不正確；對于B，由 \ell_{\upkappa}Q 是 \ell_{\upkappa}P 的真子集且 \ell_{\upkappa}Q \ell_{\upkappa}P 都不是空集知， \exists x{\in}\complement_{\mathbb{R}}P,x{\in}\complement_{\mathbb{R}}Q, 故B正確；對于C，由 P 是 Q 的真子集知， \forall{\boldsymbol{x}}\notin Q,{\boldsymbol{x}}\notin P ，故C不正確；對于D， \complement_{\scriptscriptstyleR}Q 是 \ell_{\mathbf{R}}P 的真子集，故彐 x\in\complement_{\Bbbk}P ，x\not\in\complement_{\mathbb{R}}Q 故D不正確.
16.D【解析】命題為全稱量詞命題，則命題的否定為“存在正整數(shù) n{>}2 ，關(guān)于 x,y,z 的方程 x^{n}+y^{n}=z^{n} 至少存在一組正整數(shù)解”
章末綜合檢測(一)
1.C【解析】由題意得 A=\{x|x>=slant1\},B=\{0,1,2\} ，所以 A\cap B=\{1,2\} ：
2.A【解析】對于A，所有菱形的四條邊都相等，是全稱量詞命題，且是真命題.對于B，3 _{x\in\mathbf{N}} ，使 2x 為偶數(shù)，是存在量詞命題，對于 C,\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2x+1>0 ，是全稱量詞命題，當(dāng)x=-1 時 * x^{2}+2x+1=0 ，故是假命題.對于D， π 是無理數(shù)，是真命題，但不是全稱量詞命題.
3.D【解析】由已知得 M=\{-1,1\} ，當(dāng) a=0 時， N= O ，滿足 N{\subseteq}M 當(dāng) a\ne0 時，由 \displaystyle(1)/(a)=-1 得 a=-1 滿足條件;由 \scriptstyle{(1)/(a)}=1 得 a=1 ，滿足條件.所以實數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值集合為 \{-1,0,1\} ：
4.D【解析】圖中陰影部分表示 B\cap(\complement_{v}A),A=rm{\upharpoonup}10.\operatorname{AB} \{x|-1{<=slant}x{<=slant}1\} ，則 \complement_{U}A=\{x\vert x>1 或 \scriptstyle x<-1\} ，因為 B=\{x\in\mathbf{N}|x-3{<=slant}0\} ，所以 B=\{0,1,2,3\},B\cap(\complement_{v}A)=\{2,3\}
5.B【解析】由 4x-m<0 ,得 x{<}(m)/(4) ，由 1{<=slant}3-x{<=slant}4 ，得 -1{<=slant}x{<=slant}2.\ {\overset{..}{*}}\ p 是 q 的一個必要不充分條件，： (m)/(4){>}2 ,即 m{>}8 ，
6.B【解析】因為 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 是 \boldsymbol{r} 的充分不必要條件，所以 \scriptstyle{p\Rightarrow r,r} 推不出 \mathbf{\Psi}_{P} ，因為 it{q} 是 r 的的充分條件，所以 q{\Rightarrow}r ，因為 s 是 \boldsymbol{r} 的必要條件，所以 r{\Rightarrow}s ，因為 \boldsymbol{q} 是 s 的必要條件，所以 s{\Rightarrow}q ，因為 q{\Rightarrow}r,r{\Rightarrow}s ，所以 q{\Rightarrow}s ，又 s{\Rightarrow}q ，所以 s 是 q 的充要條件，命題 ① 正確，因為 p{\Rightarrow}r,r{\Rightarrow}s,s{\Rightarrow}q ，所以 \scriptstyle{p\Rightarrow q} ，q 推不出 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} ，故 \mathbf{\nabla}_{P} 是 q 的充分不必要條件， ② 正確；因為 r\Rightarrow s,s\Rightarrow q ，所以 r{\Rightarrow}q,r 是 q 的充分條件，命題 ③ 錯誤；因為 s{\Rightarrow}q,q{\Rightarrow}r ，所以 s{\Rightarrow r} ，又 r{\Rightarrow}s ，所以 \boldsymbol{r} 是 s 的充要條件，命題 ④ 錯誤.
7.B【解析】命題“3 x\in\{x\mid1<=slant x<=slant2\} ， x^{2}<=slant a ”等價于*_{a>=slant1}* ，即命題“3 x\in\{x\mid1<=slant x<=slant2\} ， x^{2}<=slant a ”為真命題，所對應(yīng)的 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍為 \{a|a>=slant1\} ，所求的一個充分不必要條件所對應(yīng)的集合真包含于 \{a|a>=slant1\} ，顯然只有B正確.
8.C【解析】由題意可知，命題：王 x\in\mathbf{R},a x^{2}+2x+3<=slant 0為真命題.① 當(dāng) x=0 時，則 3{<=slant}0 ，不合題意；② 當(dāng) x\neq0 時，則 a{<=slant}-{(3)/(x^{2)}}-{(2)/(x)} 令 \scriptstyle t={(1)/(x)}\neq0 則 y=-3t^{2}-2t=-3\left(t+(1)/(3)\right)^{2}+(1)/(3), 所以，當(dāng) t=-{(1)/(3)} 一時，ymax y_{{max}}=(1)/(3) 則 a{<=slant}(1)/(3) 綜上所述，實數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍是 \left\{a\bigg\vert a<=slant(1)/(3)\right\}
9.BC【解析】 5\in A,\therefore x+2=5 或 x^{2}-4x=5 ·若 x+2=5 ，則 x=3 ，此時 x^{2}-4x=9-12=-3 ，不符合題意，故舍去；若 x^{2}-4x=5 ，則 x=-1 或 x=5 ：當(dāng) x=-1 時 ,A=\{-3,1,5\} ，符合題意；當(dāng) x=5 時， ,A=\{-3,7,5\} ，符合題意.綜上所述 x=-1 或 x=5 ，
【解析】對于A：當(dāng) x{>}5 時，不能得到 x{>}7 ；當(dāng)x{>}7 時，一定可以得出 x{>}5 ，即“ *\boldsymbol{x}>5 ”是“ x{>}7 ”的必要不充分條件，故A正確；對于 B:若 pn<0,則 △=m2-4pn>0,x1x2=<0，所以一元二次方程 p x^{2}+m x+n=0 有兩個根，且為一正一負(fù)根，若一元二次方程 p x^{2}+m x+n=0 有一正一負(fù)根，則 x_{1}x_{2}=(n)/(p)<0 ,則 \scriptstyle{p n<0} ,故B正確；對于C：若“ x+y>=slant6 ”，則不一定有“ x{>=slant}3 且 y{>=slant}3^{\prime\prime} ，比如 x=1,y=5 ,滿足 x+y>=6 ,但不滿足 x{>=slant}3 且 _y >=slant3 ；而若“ \Phi_{x>=slant3} 且 y{>=slant}3^{\prime\prime} ，則一定有“ x+y{>=slant}6^{,,} ，所以“ *_{x}+y>=slant6^{\prime} ”是“ x>=slant3 且 y>=slant3 ”的必要不充分條件，故C不正確；對于D：由否定的定義可知，命題“3 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ， x^{2}+ 2x+1<=slant0 ”的否定為“ \forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2x+1>0^{,} ，故D不正確.
11.ABC【解析】A.由 1\in G 且 \forall a\in G ，使 1* a=a ·1=a ，但 0\in G ，不存在 b\in G ，使 ~0~\bullet\ b=b\bullet\ 0=1 ，故
A錯誤；
B.由 0\in\mathbf{N} 且 \forall a\in\mathbf{N} ，都有 style0+a=a+0=a ，但 1\in \mathbf{N} ,不存在 b\in\mathbf{N} ，使 1+b=b+1=0 ,故B錯誤；
C.由 \mathbf{\tau}_{1\in\mathbf{R}} 且 \forall a\in\mathbf{R} ，使 1* a=a*1=a ，但 0\in\mathbf{R} ，不存在 \boldsymbol\in\mathbf{R} ，使 ~0~* b=b*~0=1~ ,故C錯誤；
D.對所有的 a,b\in G ，可設(shè) a=x+√(2)y,b=s+√(2)t (x,y,s,t\in\mathbf{Z}) ，
則 a+b=(x+s)+{√(2)}(y+t)\in G
①G 滿足加法結(jié)合律，即 \forall a,b,c\in G ，有 (a+b)+ c=a+(b+c)
② m e=0\in G ，使得 \forall a\in G ，有 e+a=a+e=a #
{③}\forall a\in G ，設(shè) a=x+√(2)y,x,y\in\mathbf{Z} \exists b=-x-{√(2)}y\in G ，使 a+b=b+a=e ,故D正確.
12.6【解析】由已知得， * B{=}\left\{3,7,9,15\right\} ，所以 A\cup B= \{1,3,4,7,9,15\} ，所以集合 |A\cup B 中元素的個數(shù) 為6.
13. V x\in\mathbf{R} ,均有 x^{2}+x+1>=0 真【解析】命題“3 \mathbf{\Psi}_{x\in\mathbf{\Psi}} bf{R} ，使得 x^{2}+x+1<0^{,} ”的否定是“ \forall\:x\in\mathbf{R} ，均有 x^{2}+ x+1{>=slant}0^{±} .因為 x^{2}+x+1={\Big(}x+(1)/(2){\Big)}^{2}+(3)/(4)>=0 恒成立，所以原命題的否定是真命題.
14.{4} 【解析】因為 4\in A ，即 4\in\left\{2,3,a^{2}-3a,a+(2)/(a)+7\right\},
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